原题链接http://projecteuler.net/problem=50

Consecutive prime sum

The prime 41, can be written as the sum of six consecutive primes:
41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13
This is the longest sum of consecutive primes that adds to a prime below one-hundred.

The longest sum of consecutive primes below one-thousand that adds to a prime, contains 21 terms, and is equal to 953.

Which prime, below one-million, can be written as the sum of the most consecutive primes?

连续素数的和
素数41，可以写成6个连续素数的和：
41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13
这是100以下最长的连续素数的和等于一个素数
1000以下最长的连续素数的和，包含21个数，等于953
求1 000 000​以下能写成最长连续素数的和的素数

​
解法：
不懂得数学方法，只好暴力了，先求出1000 000以下素数，之后双重循环。太暴力了，竟然用了18分钟，看来还是得想办法改进。果然还是有方法的，想办法生成一个三角形，最底层是1000 000以下素数，上一层是连续两个素数之和，再上一层是连续三个素数之和，。。最后一层就是所有素数之和，从上往下找，第一个小于1000000的素数就是答案。实际过程中，可以不用从最顶上开始找，可以从第一个大于1000000那一行开始往下找，然后由这一行的数生成下一行，继续找。

原题链接http://projecteuler.net/problem=49

Prime permutations

The arithmetic sequence, 1487, 4817, 8147, in which each of the terms increases by 3330, is unusual in two ways: (i) each of the three terms are prime, and, (ii) each of the 4-digit numbers are permutations of one another.

There are no arithmetic sequences made up of three 1-, 2-, or 3-digit primes, exhibiting this property, but there is one other 4-digit increasing sequence.

What 12-digit number do you form by concatenating the three terms in this sequence?

素数排列
算术序列1487，4817，8147是按照3330递增的，它有两个平常的性质：(1)这三个数都是素数 (2)这三个4位数中的每一个都是另一个的排列

不存在1位，2位，3位具有这种性质的序列，但是还有另一个4位的具有这种性质的递增序列。

求将这个序列中的三个数链接起来得到的12位数

解答：
没什么好说的，先生成一个素数判别表，之后就简单了。

原题链接http://projecteuler.net/problem=48

Self powers

The series, 1¹ + 2² + 3³ + … + 10¹⁰ = 10405071317.

Find the last ten digits of the series, 1¹ + 2² + 3³ + … + 1000¹⁰⁰⁰.
​自幂

序列 1¹ + 2² + 3³ + … + 10¹⁰ = 10405071317
求序列1¹ + 2² + 3³ + … + 1000¹⁰⁰⁰​的最后十个数字​

解答：
无非是大数运算。在Python里很简单。暴力之，只是不知道有什么数学规律没，我想不到。

原题链接http://projecteuler.net/problem=47

Distinct primes factors

The first two consecutive numbers to have two distinct prime factors are:

14 = 2 7
15 = 3 5

The first three consecutive numbers to have three distinct prime factors are:
644 = 2² 7 23
645 = 3 5 43
646 = 2 17 19.
Find the first four consecutive integers to have four distinct prime factors. What is the first of these numbers?

不同的素数因子
第一个连续两个数具有两个不同的素数因子的是：
14 = 2 7
15 = 3 5

第一个连续三个数具有三个不同的素数因子的是：
644 = 2² 7 23
645 = 3 5 43
646 = 2 17 19.

请找到第一个连续四个数具有四个不同的素数因子。这些数中的第一个是什么？

解答：
无非就是求素数因子，使用第3题中的方法，得到素数因子，剩下的就是暴力了。

原题链接http://projecteuler.net/problem=46

Goldbach’s other conjecture

It was proposed by Christian Goldbach that every odd composite number can be written as the sum of a prime and twice a square.

9 = 7 + 21²
15 = 7 + 22²
21 = 3 + 23²
25 = 7 + 23²
27 = 19 + 22²
33 = 31 + 21²

It turns out that the conjecture was false.

What is the smallest odd composite that cannot be written as the sum of a prime and twice a square?

哥德巴赫的另一个猜想
这个猜想是克里斯蒂安.哥德巴赫提出的，它是这样的：任意一个合数，如果是奇数的话，则可以写成一个素数与一个平方数的两倍的和
9 = 7 + 21²
15 = 7 + 22²
21 = 3 + 23²
25 = 7 + 23²
27 = 19 + 22²
33 = 31 + 21²
结果这个猜想是错的。
求最小的不能写成一个素数与一个平方数的两倍的和的奇合数​

解答：
还是暴力吧。

原题链接http://projecteuler.net/problem=45

Triangular, pentagonal, and hexagonal

Triangle, pentagonal, and hexagonal numbers are generated by the following formulae:

Triangle

T(n)=n(n+1)/2

1, 3, 6, 10, 15, …

Pentagonal

P(n)=n(3_n-_1)/2

1, 5, 12, 22, 35, …

Hexagonal

H(n)=n(2_n-_1)

1, 6, 15, 28, 45, …



It can be verified that T(285) = P(165) = H(143) = 40755.

Find the next triangle number that is also pentagonal and hexagonal.

三角形的，五边形的和六边形的
三角形的、五边形的和六边形的数可以由以下公式生成：
三角形的 T(n)=n(n+1)/2 1,3,6,10,15,…
五边形的 P(n)=n(3n-1)/2 1,5,12,22,35,…
六边形的 H(n)=n(2n-1) 1,6,15,28,45,…
可以验证T(285)=P(165)=H(143)=40755.
求下一个既是五边形数，又是六边形数的三角形数。

解法：
没想到什么好的方法，只好暴力了。
​

原题链接http://projecteuler.net/problem=44

Pentagon numbers

Pentagonal numbers are generated by the formula, P(n)=n(3n − 1)/2. The first ten pentagonal numbers are:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …

It can be seen that P(4) + P(7) = 22 + 70 = 92 = P(8). However, their difference, 70 − 22 = 48, is not pentagonal.

Find the pair of pentagonal numbers, P(j)and P(k), for which their sum and difference are pentagonal and D = |P(k) − P(j)| is minimised; what is the value of D?

五边形数
五边形数可以由公式P(n) = n(3n-1)/2得到。前十个五边形数是

1，5，12，22，35，51，70，92，117，145，。。。
可以看到P(4) + P(7) = 22 + 70 = 92 = P(8).然而它们之间的差,70 - 22 = 48不是五边形数
找到五边形数对，P(j)和P(k),使得它们的和与差都是五边形数，并且D=|P(k) - P(j)|最小，那么D的值是多少？

解答：
用蛮力解决了，正在思考数学方法。

原题链接http://projecteuler.net/problem=43

Sub-string divisibility

The number, 1406357289, is a 0 to 9 pandigital number because it is made up of each of the digits 0 to 9 in some order, but it also has a rather interesting sub-string divisibility property.

Let d(1)be the 1^st digit, d(2) be the 2^nd digit, and so on. In this way, we note the following:

d(2)d(3)d(4)=406 is divisible by 2

d(3)d(4)d(5)=063 is divisible by 3

d(4)d(5)d(6)=635 is divisible by 5

d(5)d(6)d(7)=357 is divisible by 7

d(6)d(7)d(8)=572 is divisible by 11

d(7)d(8)d(9)=728 is divisible by 13

d(8)d(9)d(10)=289 is divisible by 17

Find the sum of all 0 to 9 pandigital numbers with this property.
子串可除性
数1406357289是一个0到9的全位数，因为它由0到9组成，每个数字出现一次，它有一个有趣的字串可除性特性
令d(1)为第一个数字，d(2) 为第二个数字，以此类推。这种方式，我们注意如下：
d(2)d(3)d(4)=406可以被2整除
d(3)d(4)d(5)=063可以被3整除
d(4)d(5)d(6)=635可以被5整除
d(5)d(6)d(7)=357可以被7整除
d(6)d(7)d(8)=572可以被11整除
d(7)d(8)d(9)=728可以被13整除
d(8)d(9)d(10)=289可以被17整除
求所有具有这种性质的0到9的全位数的和

解答：
注意观察，观察，再观察，完全可以动手算出这题。而我不会写搜索的，只好写了一个非常丑陋的多重循环。

原题链接http://projecteuler.net/problem=42

Coded triangle numbers

The n^th term of the sequence of triangle numbers is given by, t(n)= ½n(n+1); so the first ten triangle numbers are:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

By converting each letter in a word to a number corresponding to its alphabetical position and adding these values we form a word value. For example, the word value for SKY is 19 + 11 + 25 = 55 = t₁₀. If the word value is a triangle number then we shall call the word a triangle word.

Using words.txt (right click and ‘Save Link/Target As…’), a 16K text file containing nearly two-thousand common English words, how many are triangle words?

三角数编码

第n个三角数可以由t(n) = n * (n + 1) / 2给出，所以前面十个三角数是
1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，…
将单词中的每个字母与一个数字相对应，这个数字是字母在字母表中的顺序相对应，将这些数字相加就的到字母的值。例如，单词SKY的值是19 + 11 + 25 = 55 = t(10) 如果单词的值是三角数，那么我们就称这个单词为三角单词。
使用words.txt (鼠标右击，然后‘保存链接/目标另存为…’)​,在这个16K的文本文件中包含将近2000个常用的英文单词。

求一共有多少个三角单词。

解答：
这题没有什么好说的，唯一要注意的一点是要去除单词两边的双引号。

原题链接http://projecteuler.net/problem=41
Pandigital prime
We shall say that an n-digit number is pandigital if it makes use of all the digits 1 to n exactly once. For example, 2143 is a 4-digit pandigital and is also prime.
What is the largest n-digit pandigital prime that exists?

全位素数
我们称一个数是n位的全位数当这个数包含1到n正好一次，例如2143是一个四位的全位数，同时它也是一个素数。
求最大的n位全位素数

解法：
还是暴力，从最大的9位素数开始往更小的素数找。方法太笨了，所以速度很慢。的确是太慢了，所以一定有更好的解决方法。经过观察，是不存在8位和9位的全位数是素数的情况，至于为什么，自己观察。
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